Олимпиада Юношеской Математической
Школы 2013 года.
Задачи первого (заочного) тура
7 класс
- Егор хочет разложить 17 счётных палочек на четыре кучки
так, чтобы количество палочек в первой кучке было больше суммы числа палочек в
трёх других, но не больше половины их произведения. Приведите пример, как он
может это сделать. - На игральном кубике записаны числа от 1 до 6. Вася шесть
раз бросал кубики и получил при первом броске сумму 23, при втором – 26,
потом – 20, 23, 24, 31, причём ни на одном из кубиков не выпадала дважды
одна грань. Определите, сколько кубиков у Васи. Ответ обоснуйте. - На королевском балу присутствует 100 человек. Известно,
что среди любых 50 из них есть хотя бы одна пара родных близнецов. Докажите,
что на балу обязательно найдётся три человека, являющихся родными близнецами. - У Марии был прямоугольник M×N клеток. Костя вырезал из
него угловой квадратик 6×6, после чего Ира одним прямолинейным разрезом
разделила оставшийся кусок на три треугольника. Чему могли равняться M и N?
Приведите все варианты и объясните, почему других нет. - Федя написал на доску в первый столбик 16 различных
простых чисел, а во второй – 3 различные цифры. Игорь должен сказать Феде одно
из чисел из первого столбика, а Федя – составить из своих цифр одно трёхзначное
число. Игорь ходит первым. Федя выигрывает, если его число делится на число
Игоря, и проигрывает в противном случае. Докажите, что Игорь всегда сможет
помешать Феде выиграть. - В начале игры в каждой клетке полоски из 2014 клеток стоит
фишка одного из 1007 цветов, каждый цвет встречается ровно у двух фишек. Ход
заключается в том, что все фишки сдвигаются на клетку вправо, а если фишка уже
стоит в самой правой клетке, то её сдвигают на две клетки обратно. Между ходами
можно снять с доски пару одноцветных фишек, если они попали в одну клетку.
Докажите, что игра будет длиться бесконечно. - В племени угабугцев два человека знакомы, если их имена
содержат общую букву, а иначе – нет. У каждого угабугца спросили, сколько у
него знакомых в племени. Динара сказала, что 20, Сири – 15, Рада – 12, Инна –
12. Что ответила Раиса? Ответ обоснуйте.
Оформление работы. На первой (белой) странице тетради напишите печатными буквами: фамилию
и имя, полный домашний адрес с индексом и телефон, класс, номер и район школы,
в которой Вы учитесь. Если у Вас есть электронный адрес, укажите его
(разборчиво!). Если Вы занимаетесь в математическом кружке, то укажите фамилию
руководителя и место занятий кружка.
Условия задач переписывать не нужно. Решение каждой задачи
начинайте с новой страницы. Помните, что решение задачи должно включать не
только правильный ответ, но и полное обоснование этого ответа.
Как сдать решения олимпиады:
а) с 1 по 5
октября с 16:00 до 19:00 сдать тетрадь с решениями по адресу: 14 линия
Васильевского острова, д 29 (можно
привезти сразу несколько работ или работы всей школы организованно);
б) отправить
до 5 октября свою работу по почте (указав номер Вашего класса на конверте):
198504, Ст.
Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет СПбГУ,
ЮМШ;
в) до 5 октября
прислать работу через веб-форму на
сайте ЮМШ: http://yumsh.spbu.ru
Результаты проверки работы будут сообщены в школу в
середине ноября. Их также можно будет посмотреть на сайте ЮМШ.
Вопросы по условиям задач можно задавать с помощью
веб-формы на сайте ЮМШ, а также по телефону (+7 812) 573-97-32.